Hoje vamos nos debruçar sobre o assunto AB BA: multiplicação de matrizes 2x2, ou seja, veremos como se efetua a multiplicação de matrizes e ainda iremos verificar quando duas matrizes comutam. Quando isto ocorre, temos as chamadas matrizes comutativas.
Mas o que é comutatividade? Você pode estar se perguntando.
Conteúdo relacionado:
É simples: trata-se de uma propriedade da matemática a qual estabelece que a ordem em que multiplicamos os números não altera o produto. Ou ainda: a ordem dos fatores não altera o produto (e para quem gosta de uma piadinha: a ordem dos tratores não altera o viaduto 😎).
Por exemplo: 3 x 6 = 18; 6 x 3 = 18.
Pois bem, em regra, na multiplicação de matrizes não ocorre a propriedade da comutatividade. Isso significa que a ordem as matrizes a e b altera o resultado do produto. Assim, geralmente, as multiplicações de matrizes ab ba terão resultados distintos.
Vamos calcular e comprovar o que acabamos esclarecer.
AB BA: multiplicação de matrizes 2x2
Antes de tudo, convém relembrarmos alguns pequenos conceitos.
Matriz 2 x 2 é aquela formada por duas linhas e duas colunas
A regra da multiplicação de matrizes determina que: devemos multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Mas não é só isso! Temos que fazer a adição entre os elementos de cada linha e de cada coluna, conforme a ilustração abaixo:
Observe que multiplicamos inicialmente o primeiro elemento da primeira linha de uma matriz pelo primeiro elemento da primeira coluna da outra matriz.
Em seguida multiplicamos o segundo elemento da primeira linha pelo segundo elemento da primeira coluna. E assim sucessivamente.
Como você pode ver, depois de organizar as formas de se multiplicar, basta efetuar os cálculos aritméticos em forma de expressões numéricas para se chegar à matriz resultante.
Agora vamos inverter a ordem das matrizes e fazer uma nova multiplicação:
Constata-se que as matrizes citadas não são comutativas, pois as multiplicações AB BA resultaram em matrizes diferentes (em vermelho e em verde).
ab ba - comutação de matriz
Agora vejamos as matrizes a e b abaixo, com as respectivas multiplicações ab ba, a fim de verificarmos se elas comutam.
Multiplicação ab
Multiplicação ba
Portanto, podemos concluir que ab ba comutam, haja vista que o resultado de suas multiplicações permaneceu inalterado independentemente da ordem das matrizes a e b.
Esperamos que você tenha entendido este importante conteúdo, que inclusive é cobrado em provas do Enem.
Se tiver dúvidas, poste um comentário abaixo para que possamos ajudá-lo(a).
Caso o assunto não tenha ficado claro o suficiente, poderemos gravar uma videoaula para facilitar ainda mais o aprendizado. Forte abraço!
Curiosidade: quantas horas tem um ano?
Tags
Matemática